La topología diferencial es la topología que estudia colectores diferenciales y mapas diferentes. Con el progreso de la topología algebraica y la geometría diferencial, resurgió en la década de 1930. Con el fin de estudiar el campo vectorial en el colector diferencial, también propuso el concepto de haces de fibra, por lo que muchos problemas geométricos están relacionados con la homología (clase indicativa) y los problemas de homotopía.
En 1953, la teoría de la colocación de Rene Thom creó una situación en la que la topología diferencial y la topología algebraica avanzaban uno al lado del otro. Muchos problemas diferenciales difíciles de topología se transformaron en problemas de topología algebraica y se resolvieron, lo que también estimuló la topología algebraica. Desarrollo posterior. En 1956, Milno descubrió que además de la estructura diferencial habitual en la esfera de siete dimensiones, también había una estructura diferencial inusual. Posteriormente, los colectores a los que no se puede asignar ninguna estructura diferencial fueron construidos por humanos. Todas ellas muestran que las tres categorías de colectores topológicos, colectores diferenciales y colectores lineales por piezas en el medio tienen una enorme diferencia, la topología diferencial ha sido reconocida desde entonces como una rama independiente de la topología. En 1960, Smail demostró la conjetura de Poincaré para colectores diferenciales con más de cinco dimensiones. J.W. Milno et al. desarrollaron un método básico para tratar colectores diferenciales : - 剜讓擜, de modo que la clasificación de colectores con más de cinco dimensiones se ha vuelto gradualmente álgebra.
Las áreas destacadas son la relación entre las tres categorías anteriores de colectores y la clasificación de colectores tridimensionales y cuadil en cuatro dimensiones. Los principales logros a principios de la década de 1980 incluyeron la prueba de la conjetura de Poincaré de cuatro dimensiones y el descubrimiento de la inusual estructura diferencial en el espacio euclidiano bidimensional. Este tipo de investigación se llama generalmente topología geométrica con el fin de enfatizar su color geométrico, que es diferente de la teoría de la homotopía algebraica.